{"id":684,"date":"2009-11-30T19:59:00","date_gmt":"2009-11-30T19:59:00","guid":{"rendered":"http:\/\/wp.andreas.bieri.name\/myblog\/?p=684"},"modified":"2009-11-30T19:59:00","modified_gmt":"2009-11-30T19:59:00","slug":"lsung-quiz-qua-20082","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/ec2-52-29-166-97.eu-central-1.compute.amazonaws.com\/myblog\/2009\/11\/30\/lsung-quiz-qua-20082\/","title":{"rendered":"L\u00f6sung Quiz QUA 2008\/2"},"content":{"rendered":"

F\u00fcr diese Quizfrage habe ich keine genaue L\u00f6sung erwartet und auch meine L\u00f6sung soll ohne die vollst\u00e4ndigen Formeln auskommen – vielmehr m\u00f6chte ich einige Bemerkungen anbringen, die unter anderem das Verst\u00e4ndnis des Smith-Diagramms erleichtern.<\/p>\n

Vereinfachungen: wir nehmen an, dass der Punkt A der Nullpunkt O in der xy-Ebene sei. Die Punkte B und C sollen einen Abstand <1 von O haben (mit einer willk\u00fcrlichen L\u00e4ngeneinheit). Die Strahlungsintensit\u00e4t sei gleich 1\/r2<\/b><\/sup>. Strahlendosis = Strahlenintensit\u00e4t mal Wegl\u00e4nge (wir gehen immer mit Geschwindigkeit 1).<\/p>\n

 <\/p>\n

Kurzversion:<\/b> der Weg mit der kleinsten Strahlendosis ist ein Kreisbogen. Der Kreis ist durch die Punkte A (Strahlungsquelle), B (Start) und C (Ende) bestimmt.<\/p>\n

Begr\u00fcndung:<\/b> Wir haben den k\u00fcrzesten Weg zwischen B und C zu bestimmen, haben aber eine ungewohnte Art L\u00e4ngenmessung: ein Wegst\u00fcck im Abstand r von wird mit 1\/r2<\/b><\/sup>, der Strahlenintensit\u00e4t, gewichtet. Um die L\u00e4nge wie gewohnt messen zu k\u00f6nnen, m\u00fcssen wir eine geometrische „Verzerrung“ durchf\u00fchren, die alle L\u00e4ngen mit eben diesen 1\/r2 <\/b><\/sup>verzerren. Eine solche Verzerrung erfolgt durch die Inversion am Kreis<\/i> (Spiegelung am Kreis): ein Punkt P im Abstand |OP| = r wird zu einem Punkt P‘ mit Abstand |OP’| = 1\/r abgebildet. Es gilt also |OP| \/ |OP’| = r2.<\/b><\/sup> Beide Punkte liegen auf dem gleichen Strahl (d.h. Winkel bleibt gleich).<\/p>\n

\"image.png\"<\/p>\n

Inversion am Kreis: |OP| = r, |OP’| = 1\/r<\/p>\n

\"image.png\"<\/p>\n

L\u00f6sung: Kreisbogen durch ABC<\/p>\n

Der Gedankengang zur L\u00f6sung ist wie folgt: Wir bilden die Punkte B und C mit der Inversion auf B‘ und C‘ ab. Wir nehmen die noch unbekannte L\u00f6sungskurve zwischen B und C und zerteilen sie in viele kurze Wegst\u00fccke. Ein solches Wegst\u00fcck W<\/i> beginne beim Punkt P und habe die L\u00e4nge s<\/i>. Die Strahlenintensit\u00e4t ist 1\/|OP|2<\/b><\/sup>. Die Dosis ist also gleich s\/|OP|<\/i>2<\/b><\/i><\/sup>. Das Wegst\u00fcck wird durch die Inversion zu einem Wegst\u00fcck W‘<\/i> mit L\u00e4nge s\/|OP|<\/i>2<\/b><\/i><\/sup> beim Punkt P‘ abgebildet. Die Strahlendosis ist also gleich der Wegl\u00e4nge von W‘.<\/i> Wir setzen alle Wegst\u00fccke zusammen und erhalten: die Strahlendosis auf dem unbekannten Weg von B nach C ist gleich der L\u00e4nge des invertierten Wegs von B‘ nach C‘. Die Dosis ist also minimal, wenn der invertierte Weg k\u00fcrzestm\u00f6glich ist<\/i>. Der k\u00fcrzeste Weg zwischen B‘ und C‘ ist aber eine Gerade! Wir nehmen also die Strecke B’C‘ und invertieren sie zur\u00fcck. Wir verwenden dabei, dass die Inversion Kreise auf Kreise abbildet (Geraden z\u00e4hlen als Spezialf\u00e4lle von Kreisen).<\/p>\n

Was es noch zu sagen g\u00e4be<\/b>:
\n1) Wir haben eine ungewohnte L\u00e4ngenmessung vorgefunden und daraus ungewohnte „k\u00fcrzeste Geraden“ bestimmt. In der Allgemeinen Relativit\u00e4tstheorie bekommen solche Fragen physikalische Bedeutung, indem die L\u00e4ngenmessung mit der Massenverteilung und der Kr\u00fcmmung des Raumes verbunden wird. Die Bestimmung k\u00fcrzester Wege (Geod\u00e4ten<\/i> genannt) ist meist sehr schwer oder unm\u00f6glich. Auf der Erdoberfl\u00e4che sind die Geod\u00e4ten Grosskreise<\/i>.<\/p>\n

2) Das schwierige Problem haben wir durch eine geometrische Transformationen – einen Wechsel des Standpunktes – in ein einfacheres umgewandelt.<\/p>\n

3) die Inversion am Kreis ist wie erw\u00e4hnt kreistreu<\/i> und auch winkeltreu. Dies sind an und f\u00fcr sich schon h\u00fcbsche Aufgaben f\u00fcr die Leser…<\/p>\n

4) Was hat dies mit der Smith Chart zu tun? Eine ausf\u00fchrliche Diskussion w\u00fcrde hier zu weit f\u00fchren; ich habe einen solchen Artikel f\u00fcr ein sp\u00e4teres QUA vorgesehen. Als Appetitmacher nur die Behauptung, dass sich die rechte Halbebene der komplexen Gauss’schen Zahlenebene kreistreu und winkeltreu auf das Innere des Einheitskreises abbilden l\u00e4sst. Die Abbildung ist sehr \u00e4hnlich zur Inversion am Kreis.<\/p>\n

Wem diese Begriffe nichts sagen, widme ich gerne den erw\u00e4hnten Artikel…<\/p>\n

Abbildung der rechten Halbebene r>0 auf das Innere des Einheitskreis, das Smith-Diagram. Geraden gehen in Geraden oder Kreise \u00fcber, die rechten Winkel bleiben erhalten.<\/i><\/p>\n

\"image.png\" \"image.png\"<\/p>\n

Quelle: Agilent<\/i><\/p>\n

Die Vorteile des Smith Diagramms liegen darin, dass wir den Standpunkt wechseln k\u00f6nnen, wie er unseren Berechnungen besser angepasst ist. Dass dabei Kreise in Kreise (oder Geraden) abgebildet werden, muss so sein und machen die Konstruktionen im Diagramm erst m\u00f6glich. Praktisch ist auch, dass das Kreisdiagramm handlicher ist als eine unendlich grosse Fl\u00e4che.<\/p>\n

Nicht nur das Innere der Einheitskreisscheibe l\u00e4ssz sich winkeltreu (genauer gesagt: konform) auf die rechte Halbebene abbilden. Noch viel mehr als das ist m\u00f6glich, wie ein Video auf Youtube<\/a>\u00a0erkl\u00e4rt:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Neue Quizfrage<\/b><\/h4>\n

Es gibt die Anekdote, dass Euler von der russischen Zarin Katharina der Grossen folgende Aufgabe erhalten hat:<\/p>\n

Beim Divisionsball ordnet jedes der sechs anwesenden Regimenter f\u00fcr jeden der sechs Dienstgrade je einen Offizier ab: Die sechsunddreissig Offiziere sollten zur Feier des Tages so im Quadrat aufgestellt werden, dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Offizier jeden Regiments und jeden Dienstgrades steht.<\/em><\/p>\n

Man l\u00f6se diese Aufgabe f\u00fcr 3 Regimenter. Das ist noch einfach…<\/p>\n

Sie wird etwas \u00fcbersichtlicher, wenn man anstatt Offiziersr\u00e4nge und Regimenter Farben verwendet: man nehme 3 Farben, 9 Kartonquadrate und zeichne auf ein Blatt Papier ein grosses Quadrat mit 3×3=9 Feldern. Jedes Kartonquadrat wird mit einer Farbe eingef\u00e4rbt und erh\u00e4lt zus\u00e4tzlich einen Farbfleck in die Mitte gesetzt (total 3×3 = 9 verschiedene Farbkombinationen). Man lege die 9 farbigen Kartonquadrate auf die 9 Felder des gezeichneten Quadrates wie beschrieben (die Farbe des Kartonquadrat symbolisiert das Regiment, der Farbfleck den Dienstgrad).<\/p>\n

\n

Update 20170812<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

F\u00fcr diese Quizfrage habe ich keine genaue L\u00f6sung erwartet und auch meine L\u00f6sung soll ohne die vollst\u00e4ndigen Formeln auskommen – vielmehr m\u00f6chte ich einige Bemerkungen anbringen, die unter anderem das Verst\u00e4ndnis des Smith-Diagramms erleichtern. Vereinfachungen: wir nehmen an, dass der Punkt A der Nullpunkt O in der xy-Ebene sei. 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